Оскільки у вершинах опуклого багатогранника не можуть сходитися правильні багатокутники з кількістю сторін більше п'яти, то, використовуючи теорему Коші про жорсткість опуклого багатогранника, отримуємо, що інших правильних багатогранників не існує, і таким чином є тільки п'ять правильних багатогранників: тетраедр, …
Правильних багатогранників існує лише 5. Перерахуємо їх. Правильний тетраедр – багатогранник, що складається з чотирьох рівносторонніх трикутників. Кожна його вершина є вершиною трьох трикутників, отже, сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 180.
Не існує правильного багатогранника, гранями якого є правильні багатокутникиякщо число їх сторін 6 або більше, тобто правильні n-кутники, якщо n ≥ 6 .